Dai Primi Graffiti al Sistema Posizionale

Gli Intagli

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I Sumeri

Nel quarto millennio A.C. l'agricoltura era notevolmente sviluppata e l'organizzazione in terna delle città faceva capo al tempio dove confluivamo i tributi e le offerte della popolazione. Era quindi necessario prendere nota delle entrate e delle uscite.
Quando i sacerdoti avvertirono la necessità di contare le grandi quantità di merci che venivano immagazzinate nei templi nacque la scrittura le cui tappe fondamentali furono il pittogramma e l'ideogramma.

Attraverso i secoli la rappresentazione pittografica dei segni assunse sempre più un aspetto stilizzato, e le stesse linee, originariamente disegnate e continue, vengono segmentate in una serie di tratti, o cunei, divenendo sempre più indipendenti dalle forme originarie, e quindi sempre meno riconoscibili.
All'origine della forma tipica di questa scrittura c'è una motivazione di carattere tecnico: si tratta infatti delle impressioni lasciate sull'argilla da stili di canna a sezione triangolare allungata: il cuneo.

L'invenzione della scrittura segna il passaggio dalla preistoria alla storia poiché ha permesso ai popoli di lasciare una traccia scritta delle proprie azioni, della propria cultura, delle proprie scoperte e, dunque, ci ha consentito di ricostruire più facilmente la loro storia. Ai Sumeri va inoltre il merito di aver sviluppato un'aritmetica di alto livello.
Risalgono al quarto millennio A.C. i reperti archeologici n cui sono state ritrovate le prime tracce di segni che rappresentano numeri.
Per registrare le loro operazioni contabili, i Sumeri usavano un sistema di gettoni d'argilla (calculi), di foggia e di forma diversa a seconda del valore convenuto.

I Sumeri avevano come unità di conto:

• il piccolo cono che corrispondeva a 1;
• la biglia che corrispondeva a 10;
• il grande cono che corrispondeva a 60;
• il grande cono perforato, che corrispondeva a 600;
• la sfera che corrispondeva a 3600;
• la sfera perforata che corrispondeva a 36 000.

Il sistema usato era addizionale e consisteva nel rappresentare i numeri attraverso la a successione di tali simboli, quindi il loro valore era dato dalla somma dei valori attribuiti a ciascuno di essi. Le basi utilizzate erano il "10" e il "60".

• La scelta del 10 fa riferimento alle dita delle mani.
• La storia del "60" è più complessa e si intreccia alle osservazioni astronomiche.

L'anno veniva diviso infatti in 360 giorni,

• la circonferenza in 360 gradi;
• l'ombra proiettata da un bastone fisso in posizione verticale in angoli di 60 gradi;

per cui apparve necessaria la scelta del divisore comune "6" e successivamente del "60".
A partire dal 3100 circa le transazioni economiche e la distribuzione di beni di consumo si diversificarono come dimostra la "distinta numerica" scoperta a Uruk caratterizzata ancora dalla scrittura additiva.

L'eredità culturale dei Sumeri passò ai Babilonesi e verso il secondo millennio a C. il sistema numerale subì una evoluzione.

Verso il Sistema Posizionale: i Babilonesi

Sono stati infatti i Babilonesi i primi ad accorgersi che con un solo simbolo la scrittura dei numeri era troppo complessa.
Nascono per la prima volta simboli diversi a cui corrispondono valori diversi. Fino a 59 il sistema usato dai babilonesi è additivo; diventa poi posizionale a base 60.
Tale numerazione utilizzava solo due cifre: 1 e 10: un chiodo verticale rappresentava l'unità e il cosiddetto punzone era associato al numero 10

• i numeri da 1 a 59 erano rappresentati in maniera additiva, ripetendo ognuno di questi segni tante volte quanto era necessario;
• al di là del 59 però la scrittura diveniva posizionale.
• Il chiodo quando era seguito da uno spazio vuoto rappresentava gruppi da 60;
• 2 chiodi con un intervallo tra di loro rappresentavano unità di secondo livello (60x60).

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Gli Egizi

La civiltà egizia, sviluppatasi a partire dal 3500 a. C. fino alla sua scomparsa che risale alla conquista romana nel 31 a. C., in ambito matematico viene ricordata soprattutto per i traguardi raggiunti nello studio della geometria, legato alla risoluzione di problemi di vita quotidiana. Tuttavia, è altrettanto importante ricordare che gli Egizi hanno saputo anche dare un forte impulso all'aritmetica, sviluppando il primo sistema di numerazione decimale della storia.
Il sistema di numerazione egizio è stato il primo sistema di numerazione decimale della storia, ma non posizionale, a differenza di quello che invece utilizziamo noi. Ciò significa che la posizione che una determinata cifra occupa all'interno di un numero egizio non conferisce alla cifra un valore di volta in volta diverso; è la cifra stessa a possedere un intrinseco valore quantitativo, che prescinde dalla posizione del simbolo all'interno del numero stesso. Ogni simbolo aveva pertanto un suo specifico valore, associato ad una potenza di 10 (e per questo motivo è un sistema decimale). La somma di tutte le cifre che comparivano all'interno del numero davano il valore numerico complessivo, per cui un sistema numerico del genere viene anche chiamato additivo. Se si volevano rappresentare, ad esempio, 4 centinaia, si doveva utilizzare lo stesso simbolo scritto 4 volte. Nella tabella accanto possiamo vedere quali erano i simboli utilizzati per rappresentare le cifre in geroglifico.
Il numero 0 non esisteva né come segno né come spazio vuoto.
Il numero veniva scritto per lo più da destra verso sinistra e se l'espressione era troppo lunga si disponevano i simboli verticalmente.
Questi sono i simboli geroglifici.

• Il simbolo uno deve provenire dal dito. Probabilmente perché tutti iniziano a contare con le dita.
• Il simbolo del dieci è un pezzo di corda.
• Il simbolo del cento è un rotolo di corda.
• Il simbolo per indicare il mille è un loto acquatico, si possono notare lo stelo e le foglie della pianta.
• Il simbolo del diecimila è un grosso dito, probabilmente un dito grande diecimila volte di uno.
• Il simbolo per un milione è un dio chiamato Heh. Questo simbolo rappresenta anche un numero elevatissimo. Quando un faraone costruiva il suo "Tempio dei milioni di anni", significava che lì sarebbe stato venerato per sempre.

L'uso della corda nella matematica egizia non era casuale: infatti gli agrimensori del faraone erano anche noti come "tenditori di corde" per la peculiarità di utilizzare corde per delimitare e poi misurare perimetro ed area dei terreni agricoli, in funzione del regolare pagamento delle tasse. 

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L'aritmetica greco romana

I Greci

Gli antichi greci non avevano mai concepito il vuoto come un numero, né tantomeno ad esso avrebbero attribuito un simbolo. Nella cultura greca la conoscenza e lo studio dell'aritmetica furono molto importanti, come si può desumere da numerose testimonianze letterarie. Una delle prime scuole filosofiche, il pitagorismo, dedicò un'attenzione particolare al numero, inteso come fondamento logico della realtà. La propensione all'astrazione, caratteristica del pensiero greco, si manifestò inevitabilmente nello studio teorico dell'aritmetica e della geometria D'altro canto i greci disprezzavano profondamente la logistica o calcolo pratico. Essa era basata su un sistema di numerazione additiva in cui i 27 segni usati per rappresentare i numeri erano costituiti dalle lettere dell'alfabeto contrassegnate, per distinguerle da un tratto posto in alto.

• Le prime nove lettere rappresentavano i primi nove numeri.
• Il secondo gruppo di nove lettere rappresentava le decine da 10 a 90.
• Le lettere restanti (le cui ultime tre erano costituite da lettere dell'alfabeto arcaico) contrassegnavano le centinaia.
• Gli antichi greci non avevano mai concepito il vuoto come un numero, né tantomeno ad esso avrebbero attribuito un simbolo.

Questo sistema, come peraltro quello usato dai romani non permetteva l'esecuzione di semplici calcoli.

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I Romani

Il sistema usato da greci e romani era usato per ricordare i numeri. Per eseguire correttamente i calcoli più complicati i contabili greci, quelli romani e i calcolatori europei del medioevo ricorrevano agli abachi a gettoni.
L'abaco più antico che sia stato trovato era un abaco a colonne.
La notazione romana è un esempio di sistema a legge additiva sottoposto ad alcune regole che prevedono la notazione sottrattiva.
Nei numeri romani, ci sono sette caratteri che sono ripetuti e combinati in vari modi per rappresentare i numeri:

I numeri sono sempre posti da sinistra a destra in ordine decrescente. Questo potrebbe portare alla scrittura di una lunga successione di simboli: per esempio, per indicare 99, si dovrebbe scrivere LXXXXVIIII.
Ecco alcune regole generali per costruire numeri romani utilizzando i sette caratteri.

• Il valore del numero è la somma dei valori dei caratteri.
  I è 1, II è 2, e III è 3. VI è 6 ("5 e 1"), VII è 7 e VIII è 8.
• I "caratteri di decina" (I, X, C, e M) possono essere ripetuti fino a tre volte. Alla quarta, si deve sottrarre uno dal più vicino "carattere di quintina" (V, L, D).
  Non si può rappresentare 4 come IIII, lo si deve rappresentare con IV ("1 in meno di 5"). 40 è scritto come XL, 41 come XLI, 42 come XLII, 43 come XLIII ed infine 44 come XLIV ("10 in meno di 50, più uno in meno di 5").
• Similmente, arrivati al 9, si deve sottrarre dal "carattere di decina" immediatamente superiore.
  Ovvero una cifra inferiore scritta a sinistra di una cifra con il valore immediatamente maggiore si sottrae. 8 è VIII, ma 9 è IX ("uno in meno di dieci"), non VIIII (in quanto il carattere I non può essere ripetuto quattro volte). 90 è XC, 900 è CM.
• I "caratteri di quintina" non possono essere ripetuti.
  10 è sempre rappresentato come X, mai come VV. 100 è sempre C, mai LL.
• Le cifre dei numeri romani sono sempre scritte dal più grande al più piccolo (ordine decrescente) e letti da sinistra a destra, per cui l'ordine dei caratteri è molto importante.
• Lo 0 in numeri romani non è rappresentato (Gli antichi romani non avevano il concetto di 0 come numero. I numeri servivano a contare quello che si aveva; come si fa a contare quello che non si ha?).

Rappresentazione dell'abaco romano

Inizialmente su ciascuna colonna veniva disposto un certo numero di pedine a ciascuna delle quali veniva attribuito il valore della colonna su cui erano disposte. In seguito queste pedine vennero sostituite con una sola pedina alla quale veniva assegnato il valore corrispondente.
Dopo la caduta dell'impero romano sino a quando fu introdotta la notazione posizionale, l'istruzione era rimasta assai rudimentale.
Coloro che ricevevano una certa istruzione apprendevano a leggere e scrivere, imparavano a contare sulle dita ed a scrivere e leggere le cifre romane senza tuttavia accedere all'"arte di far calcoli".
La pratica delle operazioni aritmetiche a quei tempi non era alla portata di tutti, ma costituiva l'ambito riservato ad una privilegiata casta di specialisti, i quali in seguito a lunghi e faticosi studi avevano appreso l'uso misterioso quanto complesso dei vecchi abachi romani.
Una moltiplicazione che può essere eseguita oggi anche da un bambino in pochi minuti richiedeva ore di lavoro, mentre il bottegaio che volesse conoscere l'ammontare delle sue entrate ed uscite mensili doveva ricorrere ai servigi di uno specialista del calcolo.
Si narra che un mercante medioevale, arricchitosi tanto da potersi permettere di far impartire un'istruzione commerciale al figlio, si recasse un giorno a consultare un eminente specialista per sapere a quale istituzione fosse meglio affidare il giovane. La risposta che ricevette può sembrare certamente sbalorditiva:

"Se volete limitarvi a fargli apprendere la pratica delle addizioni e sottrazioni qualsiasi università tedesca o francese fa al caso vostro. Se invece volete spingere la sua istruzione fino alla moltiplicazione e alla divisione (ammesso che egli ne sia capace) allora non vi resta che mandarlo nelle scuole italiane".

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Fibonacci e il Liber Abaci